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Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal (O ; u, v)



. Unité graphique : 2 cm.
1. On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2 ) . Résoudre dans
l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation z3 = 8.
2. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c définies par : a = 2, b = −1+ i 3 et
c = −1− i 3 .
On appelle r la rotation de centre A et d’angle
2
et r’ la rotation de centre A et d’angle
2
π
− .
On pose B' = r '(B) et C' = r(C) et on note b’ et c’ les affixes respectives de B’ et C’.
a. Placer les points A, B et C dans le repère (O ; u, v)



.
Dans la suite de l’exercice, on complètera cette figure.
b. Montrer que b ' = 2 + 3 + 3i .
c. Montrer que b’ et c’ sont des nombres conjugués.
3. On appelle M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [CB], [BB’], [B’C’] et [C’C]. On note m, n, p
et q leurs affixes.
a. Montrer que l’affixe n du point N est égale à ( ) 1 3
1 3
2
i
+
+ . En déduire que les points O, N et C sont
alignés.
b. Montrer que n + 1 = i(q + 1). Que peut-on en déduire pour le triangle MNQ ?
c. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré